[물리학] 만유인력의 법칙이란 뭘까? – 궤도 운동, 탈출 속도

계산은 조금 어려울 수 있지만 이 또한 h까지 도달하기 위한 역학적 에너지와 궤도 운동 시 역학적 에너지는 같다는 것을 이용하여 식을 전개해 보면 위와 같은 답을 도출할 수 있습니다.

[물리학] 힘의 평형(정적 평형) 지난 포스팅에서는 회전운동과 병진운동의 합체작인 굴림운동에 대해 다루었습니다. 이번 포스팅은… blog.naver.com

아까힘의균형을논할때힘의균형은지금까지배워온힘에대한모든것을망라한것이라고이야기를했어요. 그런데 아직 제가 언급하지 않은 힘이 하나 있는데 바로 만유인력의 법칙입니다.이번 포스팅은 물리를 배우지 않은 사람도 이름은 알고 있는 그 유명한 만유인력 법칙에 대해 다뤄보겠습니다.레벨은 일반 물리학 수준입니다.그 이상 벡터 계산, 중력장 계산 등이 추가되지만 다루지 않습니다. 만유인력 법칙 요약

$\overrightrow{F}=G\frac{m_1m_2}{r}{r}a_r$ F=Gm1m2r2ar

만유인력의 법칙을 요약하면 위와 같습니다.”모든 물질은 서로 끌어당기려는 힘이 있다.” 만유인력 법칙은 이를 식으로 표현한 것인데, 이 식을 풀어서 이야기하면 두 물질 간 거리가 짧을수록 끌어당기는 힘은 강해지고 물질의 질량이 커지더라도 끌어당기는 힘이 강해집니다. 중력상수 G=6.67430(15)×10-11Nmm2kg-2는 이 비례함에 대한 보정이라고 생각하시면 편합니다. 만유인력의 법칙 Law of Universal gravitation

<ahref=’https://kr.freepik.com/vectors/background’ > Background 벡터는 brgfx – kr.freepik.com 이 제작하는 </a> 보통 만유인력의 법칙 하면 뉴턴의 사과에 대한 이야기가 유명합니다. 뉴턴은 사과나무 밑에서 사색에 잠겨 있을 때 사과가 나무에서 떨어지는 것을 보고 만유인력의 법칙을 떠올렸다고 합니다. 이 이야기가 일종의 판타지라는 이야기가 나오는데, 그런 건 몰라도 이 에피소드가 이야기하고 싶은 부분은 무엇인지 생각해 보겠습니다.참고로 만유인력 법칙의 영문명이 Law of universal gravitation인 데서 알 수 있듯이 만유인력 법칙을 중력법칙이라고도 합니다.이 에피소드가 전달하고자 하는 논지는 ‘왜 사과가 떨어지는가?’에 대한 답이 바로 만유인력의 법칙이기 때문입니다.사과가 사과나무에서 떨어진다는 것은 어떤 힘이 사과에 가해졌다는 이야기인데, 이를 ‘사과는 사실 지구가 끌고 있는 것 아닌가?’라는 식으로 해석해도 만유인력 법칙의 논지에 맞기 때문입니다.이것을 지구와 달의 관계라고 생각해 봅시다. 달은 지구의 위성으로 일정한 주기로 지구 주위를 서성이고 있습니다.여기서 뉴턴의 제1법칙인 관성의 법칙을 생각해 보면 달은 지금 운동하고 있는 방향을 계속 유지하려고 직선운동을 해야 하는데 왠지 달은 마치 지구에 끈이 매달린 것처럼 원운동을 하고 있습니다.이것은 중력이 작용하기 때문인데 예를 들어 공을 던지면 관성의 법칙에 의해서 계속 일직선으로 나아가야 하는데 실제로는 중력에 의해서 포물선을 그리면서 떨어지는 것과 같습니다. 창던지기를 해서 창이 땅에 박히는 것도 이런 이치입니다.여기서 물체가 떨어질 때, 만약 낙하하는 물체가 바닥에 닿지 않도록 바닥을 계속 아래로 내리면 어떻게 되나요?이것은 결국 달이 지구를 도는 모양을 만들게 됩니다. 즉, 달 궤도 운동을 ‘달도 계속 추락하고 있다’고 해석한 것입니다. 그렇다면 왜 여기서 달은 떨어질까?에 대한 의문이 생기는데 뉴턴은 이 의문을 통해 지구와 달은 서로 끌어당기고 있는 것이 아닐까?라고 생각하게 되고, 이 서로 끌어당기는 힘을 만유인력(중력)이라고 생각하고 우리가 알고 있는 그 만유인력의 법칙을 도출합니다.$\overrightrow{F}=G\frac{m_1m_2}{r}{r}a_r$ F=Gm1m2r2ar그럼 이 만유인력의 법칙을 일반 물리학에서는 어떻게 접근하는지 알아보겠습니다.예를 들어 지구 근처에 하나의 질량을 가진 물체가 있을 때 지구와 물체 사이에 작용하는 만유인력을 구해보면 물체가 가만히 있다고 가정했을 때 만유인력이 중력과 같은 것이라는 얘기가 됩니다.$G\frac{Mm}{r^2}a_r=a_g$GMr2ar=ag이것을 정리하면 중력 가속도에 관한 식이 만들어집니다.단, 이 식은 상당한 근사치가 들어간 것에 주의할 필요가 있습니다.이 식은 지구 질량이 균일하고 지구가 원형이며 지구의 자전을 고려하지 않을 때 나오는 값인데, 지구는 사실 타원형이고 질량은 불균일하며 지구의 자전에 따라 구심 가속도가 고려되어야 합니다.그러나 근사적으로 지구보다 질량이 매우 작고 물체가 지구 표면과의 거리가 멀지 않으면 9.8m/s^2=g 정도의 값이 나오기 때문에 우리는 중력 가속도를 9.8m/s^2로 생각해서 문제를 푸는 것입니다.그런데 만유인력에 의하면 모든 물질은 서로 끌어당기는 힘이 있다고 하는데 실생활에서는 이것을 잘 느끼기 어렵습니다. 위와 같이 태블릿을 2개 가까이 붙여도 붙이려고 하는 것은 없습니다.이것은 마찰력이 만유인력을 상쇄하고 있기 때문입니다.참고로 만유인력의 법칙은 천체에만 해당하는 것이 아니기 때문에 위와 같이 물질 간 작용하는 만유인력에 대한 문제가 나올 수 있습니다. 이때는 힘의 평형과 만유인력의 공식으로 계산하면 간단합니다.덧붙여서 물질 사이에 작용하는 것과 같은 논지로서 ‘전자와 양성자 사이의 만유인력’도 존재하지만, 사실 이 힘은 전기력에 의해 묵살되어 버리기 때문에 고려하지 않습니다. 계산해보니 전기력에 비해 무려 2×10^39배 작습니다. 탈출 속도 Escape Velocity이제 이 만유인력(중력)을 이용하여 궤도운동과 탈출속도에 대해 논해 보겠습니다.우리가 인공위성과 같은 것을 지구상에 쏘아 올린 후에는 궤도운동을 하도록 설계하는데, 이때 궤도운동은 원운동이므로 구심 가속도의 정의와 함께 만유인력 의식을 이용하여 유도해 보면 궤도운동 때 속도를 구할 수 있습니다.그럼 이번에는 우리가 지구에서 로켓을 발사하고 달 탐사를 하러 간다는 이유로 지구의 영향력에서 벗어나야 하는 상황을 생각해 보겠습니다. 이럴 때는 결국 지구와의 만유인력을 이겨낼 정도의 운동에너지를 가지고 지구에서 탈출해야 하는데, 이 속도를 우리는 탈출속도(Escape Velocity)라고 합니다. $U_g=-\frac{GMm}{R}$Ug=−GMmR한 번 멋지게 이 탈출 속도를 구해봅시다.이 탈출 속도를 구할 때 고려하는 것은 역학적 에너지인데, 만약 초기 중력 퍼텐셜을 -GMm/r에 두고 역학적 에너지를 구할 때 탈출 목표 지점의 거리 r을 무한대로 가정한다면 운동 에너지와 중력 퍼텐셜 에너지의 합이 0이라는 역학적 에너지 보존을 이용하여 탈출 속도를 구할 수 있습니다.여기서 중력 퍼텐셜 에너지는 이런 느낌인데 보존력에 반하는 일을 해야 위치 에너지가 증가하기 때문에 (-)를 붙여줍니다. 몇 가지 예이 궤도 운동과 탈출 속도라는 개념을 이용한 몇 가지 예를 소개합니다.위의 문제는 어떤 특정 높이에서 궤도 운동을 하는 에너지와 그 높이까지 쏘아 올릴 때의 에너지가 같은 높이 h가 얼마인지 구하는 문제입니다.이것은 만유인력과 역학적 에너지에 관해 알고 있어야 해결할 수 있는 문제입니다.위와 같이 운동 에너지와 중력 퍼텐셜 에너지를 구하고 역학적 에너지 보존 법칙을 이용하면 조건을 충족하는 높이 h를 구할 수 있습니다. 다만 개인적으로 이 문제의 의도가 그다지 명확하지 않다고 느껴져서 별로 좋아하지 않는 문제입니다.개인적으로 식 정렬이 명확한 문제는 이런 문제일 것입니다.특정높이h에서궤도운동을하기위한초기에너지는얼마인지를물어보는문제인데요.계산은 조금 어려울 수 있지만 이 또한 h까지 도달하기 위한 역학적 에너지와 궤도 운동 시 역학적 에너지는 같다는 것을 이용하여 식을 전개해 보면 위와 같은 답을 도출할 수 있습니다.